Indirekt bevis

Original: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.contradict.html

I ett bevis genom motsägelse vi anta, tillsammans med hypoteser, den logiska negationen av det resultat vi vill bevisa, och sedan nå något slags motsägelse. Det är, om vi vill bevisa “If, då Q”, antar vi P och inte Q. Motsättningen vi kommer fram till kan vara någon slutsats motsäger en av våra antaganden, eller något uppenbart osant som 1 = 0. Läs beviset av det irrationella av kvadratroten av 2 i inledningen till ett exempel.
Här är några fler exempel.

Oändligt många Primes

En av de första bevisen genom motsägelse är följande pärla skrivs Euclid.
Sats. Det finns oändligt många primtal.

Bevis. Antag motsatsen att det bara finns ändligt många primtal, och alla av dem är listade enligt följande: P1, P2 …, pn. Tänk numret q = p1p2 … pn + 1? Antalet q är antingen Prime eller komposit. Om vi delat någon av de listade primtal pi i q, skulle det resultera en rest av en för varje i = 1, 2, …, n. Således kan q vara sammansatta. Vi drar slutsatsen att q är ett primtal, inte bland de primtal som anges ovan, motsäger vårt antagande att alla primtal finns i listan p1, p2 …, pn.

q
Indirekt bevis används ofta när man vill bevisa omöjligheten något. Du antar att det är möjligt, och sedan nå en motsägelse. I exemplen nedan vi använder denna idé för att bevisa att det är omöjligt för vissa typer av lösningar på några ekvationer.

Exempel: En diofantiska ekvation

En Diofantisk ekvation är en ekvation som du söker heltalslösningar. Exempelvis de så kallade Pythagoreiska tripplar (x, y, z) är positiva heltal lösningar till ekvationen x2 + y2 = z2. Här är en annan.
Sats. Det finns inga positiva heltalslösningar till Diofantisk ekvation x2 – y2 = 1.

Bevis. (Indirekt bevis.) Antag att tvärtom att det finns en lösning (x, y) där x och y är positiva heltal. Om så är fallet, kan vi faktor till vänster: x2 – y2 = (xy) (x + y) = 1. Eftersom x och y är heltal, följer det att antingen xy = 1 och x + y = 1 eller xy = -1 och x + y = -1. I det första fallet kan vi lägga de två ekvationer för att få x = 1 och y = 0, motsäger vårt antagande att x och y är positiva. Det andra fallet är liknande, att få x = -1 och y = 0, återigen motsäger vårt antagande.

q
Exempel: Rationella Roots

Det finns en formel för att lösa den allmänna tredjegradsekvation en x3 + b 2 cx + d = 0, är att mer komplicerad än den qaudratic ekvationen. Men i det här exemplet vill vi bevisa att det inte finns någon rationell rot till en viss tredjegradsekvation utan måste titta på den allmänna kubik formeln.
Sats. Det finns inga rationellt tal lösningar till ekvationen x3 + x + 1 = 0.

Bevis. (Indirekt bevis.) Antag att motsatsen finns det ett rationellt tal p / q, i reducerad form, med p inte är lika med noll, som uppfyller ekvationen. Sen har vi p3 / q3 + p / q + 1 = 0. Efter att multiplicera varje sida av ekvationen genom q3, får vi ekvationen

p3 + p q2 + q3 = 0
Det finns tre fall att tänka på. (1) Om p och q båda är udda, då den vänstra sidan av ekvationen ovan är udda. Men noll inte är udda, vilket lämnar oss med en motsägelse. (2) Om p är jämn och q är udda, då till vänster är udda, återigen en motsägelse. (3) Om p är udda och q är ännu, vi får samma motsägelse. Den fjärde fallet – p jämn och q ens – inte posssible eftersom vi antog att p / q är i reducerad form. Detta avslutar beviset.

q
Det omvända av en sats

Den Converse av “If, då Q” är påståendet “Om Q, då P”. Till exempel är motsatsen till “Om det är min bil, det är rött” “Om bilen är röd, då dess mitt.” Det bör vara klart från detta exempel att det finns ingen garanti att det omvända av en sann stement är sant.
Indirekt bevis är ofta det mest naturliga sättet att bevisa motsatsen till en redan bevisat teorem.

Den Converse av Pythagoras sats

Pythagoras sats berättar att i en rätvinklig triangel, det finns en enkel relation mellan de två benlängder (a och b) och hypotenusan längden, c, i en rätvinklig triangel: a2 + b2 = c2. Kanske vet du inte att det omvända är också sant.
Den Converse av Pythagoras sats. Om (skilt från noll) tre sidolängder i en triangel – a, b och c – tillfreds relationen a2 + b2 = c2, då triangeln är en rätvinklig triangel. (Antag Pythagoras sats har redan bevisat.)

Bevis. (Indirekt bevis.) Antag att triangeln inte är en rätvinklig triangel. Märk hörnen A, B och C som bilden. (Det finns två possibilites för mått på vinkeln C:. Mindre än 90 grader (vänstra bilden) eller större än 90 grader (högra bilden))

Uppföra en vinkelrät CD linjesegment som på bilden nedan.

Genom Pythagoras sats, BD2 = a2 + b2 = c2, och så BD = c. Således har vi isosceles trianglar ACD och ABD. Av detta följer att vi har kongruenta vinklarna CDA = CAD och BDA = DAB. Men detta motsäger de uppenbara orättvisor (se bild) BDA <CDA = CAD <DAB (vänstra bilden) eller DAB <CAD = CDA <BDA (högra bilden).

q
övningar

Använd metoden för Indirekt bevis för att bevisa var och en av följande.
Kuben rot 2 är irrationellt.
Det finns inga positiva heltalslösningar till Diofantisk ekvation x2 – y2 = 10.
Det finns inga rationella nummer lösning på ekvationen x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0.
Om en är ett rationellt tal och b är ett irrationellt tal, då a + b är ett irrationellt tal.