Återfall Tomter och Dynamiska systemanalys

Original: http://www.cs.colorado.edu/~lizb/rps.html

 

Upprepning tomt i Lissabon tunnelbanan

(World Matematikåret affisch producerad av Sociedad Portuguesa de Matematica. Bild med tillstånd från Joe Iwanski, University of Colorado.)

En upprepning tomten är en tvådimensionell representation teknik som lockar fram avstånds korrelationer i en tidsserie. RP gör det omedelbart uppenbart om ett system är periodisk eller kaotisk. Till exempel, här är en upprepning tomt på en kaotisk tidsserier mätt från ett parametriskt påtvingad pendel:

 

Tidsserien mätningar av bob vinkeln, i radianer, tas var 0,165 millisekunder sprids ut längs både axeln och abskissan och pixlar är färgkodade enligt de interpunktavstånd. Till exempel, om den 17: e punkt på banan är 1,4 avståndsenheter bort från den 135: e punkten, bildpunkten ligger på (17, 135) om återkommande handling kommer att skuggas med den färg som motsvarar avståndet intervall som inkluderar 1,4 (gul -grön, i observationsområdet ovan). Denna speciella tomten byggdes med hjälp av euklidiska normen, men andra normer fungerar lika bra.

Denna intrikata, vacker struktur speglar hur banor på en kaotisk attraktor, vilket gör nära (och inte-så-nära) returnerar olika tidsskalor.

Periodiska tidsserier har lika karakteristiska RP. Nedan är en RP av en tidsserie som samlats in från samma pendeln, men till en högre tvinga frekvens, där dynamiken konvergerade till en gräns cykel:

 

Man kan också rita tröskel återfall tomter eller TRP, som belyser punkter som faller inom ett visst avstånd från varandra. I en TRP, pixlarna belägen vid (i, j) och (j, i) plot är svart om avståndet mellan den i: te och JTH punkter i tidsserien faller inom vissa tröskel korridor, som [0, 0.1], och vitt annars.

Vi är intresserade av återfall tomter eftersom de är ett effektivt sätt att visualisera geometri ett dynamiskt system beteende, och vi arbetar på analystekniker som effektivt kan karakterisera geometri deras struktur. Vårt mål är att hitta en bra uppsättning byggstenar som man kan karakterisera återfallplot geometri. En viktig tillämpning av denna typ av arbete är klassificeringen av dynamiska system. När man försöker att bestämma om en speciell ordinär differentialekvation matchar beteendet hos ett system, eller om två olika dynamiska system är likartade, är det viktigt att kunna jämföra de två effektivt. De standardteknik för att göra detta, icke-linjär regression, är både dyrt och föremål för konvergensproblem på grund av lokala extrem i regressionslandskapet. Eftersom de ger en bred pensel bild av geometri ett systems beteende, kan återfall tomter vara ett bättre sätt att göra en snabb jämförelse mellan två dynamiska system.

Ett sätt att förstå den geometriska strukturen hos en upprepning tomten är att betrakta instabila periodiska banor eller UPOS som ligger inom en kaotisk attraktor. Det finns ett oändligt antal UPOS alla perioder, tätt inbäddad i en sådan attraktor; ja, är banan stängningen av uppsättningen UPOS och banan kan ses som hoppar” från en UPO till nästa. Figuren nedan visar detta. Den vänstra bilden är en godtycklig Lorenz banan; de två högra bilderna visar banor från begynnelsevillkor som balanserade perfekt på (respektive) en tvåcykeln och en fem cykel:

 

 

Dessa UPOS hittades av Ricardo Mantilla s UPOExplorer program, som bygger på de algoritmer i Chaos bortom Onset: En jämförelse av teori och experiment,” Physical Review Letters 63: 1 (1989). ODE och solver parametrar kan hittas i Bradley / Mantilla papper som listas nedan.

en upprepning tomt, UPOS manifest på ett visuellt tydligt sätt. Bilderna nedan visar TRP av x-komponenter av ovanstående banor:

 

Dessa kurvor konstruerades med användning av en tröskel korridor på [0, 2] och den euklidiska 2normen. Notera hur de upprepade blocket RP strukturer som motsvarar de UPOS visas ordagrant på längre kaotiska bana. Detta blockkompositionsstrukturen visas på alla recurr oavsett norm, tröskel korridor, eller vad tillståndsvariabel (er) används vid beräkningen avstånd; klicka här för tillhörande bilder.

Denna nedbrytning ledde oss till gissa att de instabila periodiska banor inbäddade i en kaotisk attraktor är en användbar grund inställd för geometri återfall tomt på dessa uppgifter. Detta ger inte bara ett enkelt sätt att hitta instabila periodiska banor i kaotiska tidsseriedata, utan också ett potentiellt användbart sätt att använda en upprepning komplott för att identifiera ett dynamiskt system. De Bradley / Mantilla papper anges nedan förklarar dessa idéer i mer detalj.

Ett annat intressant resultat av denna typ av arbete har varit förmodanden om att återfall tomter är, åtminstone i viss utsträckning, oberoende av bädda dimension om systemet är för låg dimension och man använder den maximala normen. Se Iwanski / Bradley papper nedan för mer information.

Papers:

E. Bradley och R. Mantilla, Återkommande tomter och instabila periodiska banor.” Kaos 12: 596-600 (2002). Hjälp siffror finns här.
J. Iwanski och E. Bradley, Återkommande plot analys: Att bädda eller inte bädda in ?,Chaos 8: 861-871 (1998). Tillägg: Dessa resultat har bekräftats oberoende (t.ex. J. Zbilut et al, Physics Letters A246:. 122 (1998)) men de beror på valet av norm, slutsatserna i denna uppsats inte håller för alla normer eller alla system.

Länkar:

Upprepning kvantifiering analys, som föreslagits av Joe Zbilut och Charles Webber, är ett annat sätt att komma åt RP struktur. RQA definieras flera statistiska mått på de svarta punkterna i ett återfall tomt.
Ett annat intressant sätt att visualisera dynamiken i ett flöde, från datorgrafik gruppen vid TU Wien