Filozofie, MATEMATIKA A STRUKTURA


original: http://web.maths.unsw.edu.au/~jim/interview.html

( Filosof 1 (2) ( Winter, 1995) , 31-38 )

James Franklin je docentem matematiky na University of New South Wales. Je držitelem titulu PhD v algebře od Univerzitě ve Warwicku , a napsal o historii idejí a neuronových sítí , jakož i na filozofii matematiky . Je spoluautorem učebnice Úvod do Důkazy z matematiky a historievědy dohadu a dokončuje knihu o nedávné australské filozofie.

Zde mluví s Davidem Shteinman o svých názorech na nový směr pro filozofii matematiky , na základě toho, co vlastně matematika nám říká o světě.

Jime, jako filozof a matematik , jak vidíte vztahy mezi těmito dvěma disciplínami ?

Filozofie a matematika jsou dvě velké křeslo disciplíny , a to je čas tam byl sblížení mezi nimi . Bohužel , v současné době studené války podmínky platí . Filozofové často chtějí “užívání ” matematika nějak , ale zapomínají, že pokud chcete poučovat o x , co potřebujete vědět něco o x. Na druhé straně , matematici obvykle mluví nesmysly , když jste se ptali filozofické otázky . Nový Zéland filosof Alan Musgrave , řekl v této souvislosti , ” ryby jsou dobré na plavání , ale chudý na hydrodynamiky ” , a to přesně popisuje, matematici , kteří fušovat trochu ve filozofii ve svém volném čase .

Takže ve zkratce , co je vaše pozice ? Co je matematika asi ?

Matematika je věda o struktuře . Zkoumá strukturální vztahy . Takže to může být také popsána jako komplexní vědě ( ” složitost ” právě znamená ” hodně ” struktury ) . Jedním z důvodů pro složitý vztah mezi matematikou a filozofií je, že filozofové jsou vyškoleni, aby určité slepoty ke konstrukci . Rae Langton (filozof na Monashově univerzitě ) doporučuje používání filozofů o etických komisí , protože , jak říká, filozofové se používají k složitosti. Ale to je úplně špatně . Filozofové nenávidí složitosti. To, co chtějí , je vidět složitost vysvětlit pryč z hlediska několika jednoduchých zásad.

Ve vašem 1989 papíru , ” matematika, nutnost a realita ” , jste uvedl , že matematika může být i nezbytné a o reálném světě. Je vaše pozice Kantovská v tom, že potřebné vztahy vyžadují percepční pojetí prostoru a času – tak předmětem matematika je jen vztahy vnímání prostoru a času ?

Ne Symetrie je nemovitost – prostorové věci mají , ale tak to non- prostorové věci. Argumenty , například , může být tím, že je symetrickástejný zpět jako dopředu . Prostor je snadné myslet , ale matematika zkoumá vztahy v ničem , a to nejen prostorové a časové věci .

Bod, který vede přes několik svých prací je, že můžete mít i nutnost a realitu v matematice . To je opak Einsteina , který řekl: ” Pokud jde o návrhy matematiky odkazovat na skutečnosti , nejsou jisté, a tak pokud jsou jisté, že neodkazují na realitě ”

Co je špatně s tímto nápadem přichází ve starém pohledu matematiky jako ” vědy o množství” . Množství je skutečný aspekt věci , a matematika studiích . V posledních 200 letech , matematika rozšířila studovat některé další věci, jako je topologie sítě ( jako například ve slavném Königsberg mostů problému) . Tyto věci nejsou přesně ” množství” , ale jsou to stále reálné aspekty věci.

Ale není to o prostorové vztahy ?

V tomto případě , to je , ale to nemusí být . Topologické otázky mohou být vzneseny cesty do sporu . Nebo o ” kluzký svah ” argumenty nebo kontinuální změnu v “prostoru” barev.

Takže jste proti Kantian pozici, matematika je o vztazích v prostoru a čase pouze ?

Ano. Říkám matematika je věda o skutečných strukturálních vlastností věcí. V tomto vezmu aristotelský , spíše než Platonist , pohledu na věc . Platonism je tradiční volba ve filozofii matematiky , myslet si, že čísla , množiny a tak dále existují v některých nezávislých ” abstraktní ” světa , a že to vysvětluje objektivitu matematické pravdy. Platonism dělá dvě chyby týkající se matematiky :

První. Protože staré geometrie zabývala pouze jednoduchými tvary , nikdy se zabýval tvary reálných věcí. Toto opustilo dojem, že geometrie by se mohla týkat pouze ” abstraktní ” nebo ” Idealised řádky ‘ nebo kruhy . Ale ve skutečnosti modem může matematika řešit prostřednictvím aproximace teorie komplexních téměř kruhových tvarů.

Za druhé . Tam byla vždy k záměně Platonist a Aristotelově výhledem univerzálií . Doufám, že oživení aristotelské realismu obecně , v práci Armstrong a další , bude to pro věřící v objektivitě matematické pravdy , aby se zabránilo řítí k Platonist extrémů.

Mohl byste rozvést Aristotelian polohy. Jde o to, abstrahovat “od” nebo ” z ” na světě?

Pro ” abstraktní ” v Aristotela neznamená , že odběry žijí v nějakém jiném světě . Chcete říct, biologie jevěda o životě , a proto soudí jen ” živé ” aspekt věci, neznamená, že ” život ” je jiného světa , nebo že biologie nestuduje život , že skutečné živé věci mají . To prostě znamená, že biologie je studium živých organismů . Stejné je to s matematikou . Zkoumá některé aspekty reálného světa – strukturální aspekty .

Vzpomínám si příklad skutečné nemožnosti obklady na podlaze v koupelně s ( normální velikosti , přiléhavý ) pětiúhelník ve tvaru dlaždic.

Ano, vaše podlaha koupelny je skutečná věc s struktuře téměř ploché euklidovské rovině. A můžete prokázat této struktury, která nemůže být obloženy pětiúhelníků . Takže jste dokázal něco potřebné o realitě .

Ale vrací do polohy Kant : nemůžeme hovořit o , řekněme, 15 -rozměrné koule , protože nemůžeme tvořit apriorní koncept 15 -dimenzionální sféry.

To se zdá býtfakt o naší psychologii , stejně jako většina z Kantovy filosofie . Ve skutečnosti, pokud by mohla být 15 rozměry pak bychom mohli mluvit o různých aspektech struktury ” prostoru” 15dimensional , a že diskuse by to byla pravda. Co my můžeme pochopit nebo si představit, prostě není relevantní – to je matoucí, epistemologie a ontologie . Kant je jen psychologizujících . Byl mýlil existence 4 -rozměrné geometrie ( jako ve speciální relativitě ) a non-Euclidean geometrie ( v obecné teorii relativity ) . Matematika správně popisuje strukturu těchto alternativních geometrií .

Souhlasíte s tím , i když, že návrhy matematiky jsou syntetické a priori ?

1. nelíbí jazyk. Obě slova jsou příliš psychologické tak, aby oba “ano” a “ne” jsou zavádějící odpovědi . Aristotelova pozice se zeptat , co je v reálném světě . Neptej se , první, co máte koncepce reálného světa – to je druhého řádu epistemologické otázky , je třeba zvážit později.

Takže začnete s praxí , ne koncepcí .

Ano. A pro matematiku začnete s různými vztahy ( mezi věcmi ) najdete tam.

Takže hmotný svět a jeho struktura jsou zdroje vztahů , které matematika studií ?

Ano. A to je to, co vidíte v nějakých číslech dětských učení a tvarů. Je pravda, že existuje více než v matematice byl zaznamenán . 5 -rok-starý , budete mít potíže , nejprve v malém množství přesahuje . Ale po více abstrakce lze abstraktní číslo , aproces vždy přidáním jednoho na číslo, které už má , takže je pochopitelné, čísla nad rámec rozsahu jednoho viděl . Stejné je to s rozměry – chápeme rozdíl mezi 1 , 2 a 3 rozměrů , a můžeme abstraktnípojem dimenze a pak zvážit mnoho rozměrů .

Co třídění Cantorovým z nekonečna ? To je daleko za zkušenosti , ne?

Pravda. Ale Cantor jen přišel k nim procesu abstrahovat pojem mohutnost množiny párování off – sám. Jakmile to uděláte , zdá se, že není důvod, proč nemůže existovat nekonečna různé mohutnosti , jak naznačuje Cantor . Skutečnost, že jeden nemůže ” jasně představit jim ” není žádný důvod, proč věřit v ně. Chcete říct, jinak je zaměňovat epistemologie a ontologie znovu.

Tento zmatek epistemologie a ontologie mohl byste rozvést ?

Vidíte to znovu a znovu. Hume , například tvrdí, že je nemožné prostoru nekonečně dělitelná . Říká : nemůžeme představit , takže to nemůže být . To nenídobrý argument . Ve skutečnosti , je to úzce souvisí s argumentem, že David Sporák získal cenu ve své soutěži o nejhorší argument na světě : “Nemůžeme vědět , co jen oni jsou příbuzní s námi / v našich forem vnímání a porozumění / v tak pokud spadají pod našimi koncepčních schémat , atd. , proto nemůžeme znát věci tak, jak jsou v sobě . ” Ve všech těchto , problém vzniká od uplatnění potřebné spojení mezi tím, co děláme, nebo může vědět , a co je .

Takže myslím, že všeobecná teorie relativity vyplývá, že existují věci , které tam nenajdeme v naší bezprostřední smyslové zkušenosti .

Ano,fyzika ukazuje, že stačí , aby se s zakřivenou 4- rozměrném prostoru – času (nebo obejmout ho radostně , v závislosti na vaší chuti na paradox ) .

Ale fyzici , jako Einstein , nevidím to tak …

Fyzici a inženýři mají legrační pohled na matematiku . Myslí si, že to jako triků , metody, vzorce a co ne se dostat z jednoho experimentálního výsledku do druhého – druh ” teoretická odšťavovač ” , aby se předpovědi z teorií. Opírají se matematici šílenství. Je pravda, že matematika má mít tento aspekt , ale to není ústřední . Matematika v , řekněme, speciální teorie relativity , se chová jako způsob, jak popisovat strukturu časoprostoru má. Což ovšem neznamená, že matematika je ” jenjazyk ” . Struktura jevěc, a matematika je věda, která popisuje strukturu .

Chceš snad říct, že matematika zjistí skutečné strukturální vztahy ?

No , ano, ale zjistí více než jste skutečně tam – ve stejném smyslu, že biologové se domnívají, více druhů , než jsou ve skutečnosti neexistují . To zjistí , co můžete mít , stejně jako jaké možnosti jsou ve skutečnosti instance .

Mohl byste rozvést tento pojem struktury ? Ve vašem 1989 papíru, který dal příklad Newton vyplývající eliptické oběžné dráhy planet z jeho zákonů.

Začal s univerzální zákon gravitace. To vám dává místní struktury , co se děje v malé oblasti prostoru a času , jak se situace v jednom okamžiku určuje situaci v příštím okamžiku . Je to stejné, jako způsob, jakbanka vypočítá váš bankovní zůstatek na zítřek z váhy dnes připočtením úroku podle vzorce . Matematická práce je nalézt globální strukturu, která výsledky -elipsy v Newtonově případě , nebo exponenciální růst v případě bankovního účtu . Globální struktura vychází zpostupného nahromadění účinků místní struktury. Nynímatematická práce neříká nám, co je struktura , jen vztah mezilokální a globální struktuře .

Ale struktura nemáte na mysli pouze 3 -dimenzionální fyzickou strukturu ?

Ne, například studium teorie grup může struktura symetrie a symetrie se realizovat na fyzikálních a non- fyzické věci ( na pozemcích příběhů , například jako literární strukturalisti řekl ) . Kontinuita je další struktura, která může existovat v čase , stejně jako prostor , a také význam slov , kde neurčitost smyslu většiny slov znamená, že tam může být hraniční případy , s měnícími se stupni je hraniční.

Co teorii čísel ? Ve vašem 1994 papíru, který se zmínil, že filozofové matematiky byly vždy přilepená na otázku: ” Jaké jsou čísla ?” , Ale to není příliš odhalující ze strukturálního hlediska.

To je pravda. Čísla a soubory , které se tradičně soustředí na filozofové , jsou jakési zvrhlé strukturu. Vznikají jen z toho, že věci jsou odlišné od ostatních věcí. Že nastat , to znamená, že se na vztah ” není rovno ” , který je slepý k nejzajímavějším struktur. Čím více vzrušující struktury jsou složité , jako ty topologické struktury , kontinuity a symetrie .

Filozofové by bylo lépe soustředit na bohaté struktury operačního výzkumu a počítačové simulace , jsou mnohem výmluvnější , co matematika nám může říct . Ale s mudrců ” vyškoleni odmítnout vše, co není jednoduché, co můžete dělat ?

Ty by měly zahrnovat SHO ?

Ano. Fronta má jemný ( pravděpodobnostní ) strukturu, která může matematika uvažovat o v tom smyslu, že to může vypadat na interakci mezi lokální struktury jízd – to jsou lidé , kteří přijedou náhodně do fronty – a globální struktury – měnící se délku fronty .

Ano, mít hotový SHO já musím přiznat, že to bylo velmi zajímavé , ale nemohl jsem vidět jeho filozofický význam v té době !

Protože jste byli vycvičeni myslet na takové věci jako pouhé technických .

Myslíte si, že formální vědy, jak jim říkáte , můžete sloučit nezbytnost a reality aspekty matematiky – jako struktury, a proto zkoumá, určitě existují v reálném světě ?

Ano. Více Struktura máte, tím větší je nutnost nalézt ve vztazích mezi strukturami .

Jaké jsou oblasti matematiky , kde se to děje ?

Skupina Teorie a topologie na čistou matematiku straně. K dispozici je také algebraická topologie , který vám řekne o různých druzích povrchů Dieudonné říkal, že to byla hlavním tématem v čisté matematice v tomto století . V aplikované matematice je operační výzkum , a tam je matematické modelování a počítačové simulace . Simulace na počítači je jen klonovánístrukturu. Vyhodíme irelevantní fyzické kousky systému a studovat jeho strukturu sám – přímo .

Ale počítačová simulace – to má intelektuální obsah, který odvozené rovnice analyticky dělá ?

Duševní operace v psaní rovnic spočívá v identifikaci strukturu, kterápopisuje rovnice – není v řetězci symbolů, které jeaktuální rovnice . Což vede k různým rovnice jsou různé struktury . Je to docela těžké popsat struktury , a to je škoda, žetechnika , jak to je jen zřídka učí v matematice a kurzy výpočetní techniky .

Ale určitě to je to, co fyzika ? Nejsi jen opravdu mluvit o matematice dělat fyziku ?

Za prvé , hodně fyziky experimentální měření a interpretace dat . V teoretické fyziky , to je zřejmé, že rovnice jako Newtonovy zákony popsat , co se opravdu děje , ale jakcituji Einstein ukázal , fyzici taky může mít na povrchu pohled na matematických symbolů , jako by rovnice jsou předevšímjazykové subjekt, který jeden manipuluje podle pravidel . A je to ještě horší pro ty, kdo tuto záležitost z větší dálky , stejně jako filozofové.

Filozofové jen nechápu, rovnice a co se děje !

Filozofové byli uvedeni v omyl Frege , Russell a Wittgenstein , aby si mysleli , že matematika je předevšímmanipulace symbolů . Možná, že kdyby Wittgenstein vytrval s jeho strojírenstvítrochu déle , byl by se dostal mimo bag -of- triky pohledu matematiky, inženýrství studenti jsou krmena .

Takže nejsilogicist neboformalistický ?

Rozhodně ne .

Mohli bychom diskutovat o teorii chaosu a jak to zapadá do vašeho pohledu matematiky.

Teorie chaosu je velmi pěkná z mého pohledu , protože je to o tom, jakjednoduché lokální struktura může určit velmi složitý globální strukturu. Se staršími matematiky lineárních systémů , to bylo jednodušší ignorovat rozdíl mezi těmito dvěma ,lokální a globální , ale teorie chaosu tře nos v něm. Teorie chaosu je o systémy jako neklidné tekutiny , které se vyvíjejí v čase, ale skutečnost, že jedna osa představuje čas je irelevantní z čistě matematického hlediska . Je to jen , že diferenciální rovnice popisují jednoduchou lokální strukturu , a to, co se vyvíjí z je celosvětově složité .

Takže matematický ekvivalent ” Go West , Young Man ” je ” dostat se do teorie chaosu ?”

Ano. Tyto a další matematické vývoj posledních padesáti let , stejně jako operační výzkum , systémové inženýrství , genetické algoritmy – jsou vzrušující , jelikož umožňuje využití počítačů , obrazového myšlení , přímé použitelnosti . A řeknou vám hodně více filozoficky , než některé ze starších větví matematiky, jako je logika.

Ale v OR – Operations Research , říká v modelování fronty , rozdíl mezi modelem a realitou je úzká, a člověk nemusí cítit , kdo je na tom něco tak zásadní .

Ale to jevýhoda. Jsi jen konstatuji skutečná fakta o frontě , a když viděl , kde vedou . Nejste přesměrovány , filosoficky řečeno, o pokušení zavést Platonist subjektů, jako byste se v teorii čísel a teorii množin . Kdo by chtěl mluvit o fronty v sobě, když máte skutečný fronty před vámi , které jste úvaha o úspěšné ?

Ale pokud jde o průlom , nejste naznačuje nebo se chystá udělat matematiku vpřed ? Není tunáklady na ztráty v šíři tématu rádi, nebo co je to blízko k realitě ? Mohl topologie , řekněme, být širší ?

Pravda. Ale je tu v zásadě žádný rozdíl . Struktura topologie může být více vzrušující než v OR, ale to není důležité filozoficky .

A to teorie čísel a teorie množin neodhaluje nic o struktuře světa?

Nemají odhalit něco , o nejjednodušší typ konstrukce . Ale filozofové zaměřili na to, že si můžete postavit všechny matematiky v teorii množin , jako kdyby to dělá teorii množin více základních a – zde je skutečný podtext , určitě omluvy je od studia zbytek. 1. nevidí tuto skutečnost jako vzrušující . Je to jen odvádí pozornost od skutečnosti, že jste se budovat strukturu v sadách. Musíte vědět, jaká struktura hledáte , než budete moci postavit ho z množin. Stejně tak , kdyby se ukázalo , že všechny matematické struktury mohou být vyrobeny ze dřeva , nebylo by to z toho, že matematika bylapobočka truhlářství !

Pojďme nyní hovořit o obecnější rovině o matematiku a filozofii obecně. Má matematika pomoci při velkých filosofických otázek ?

To bylo říkal, že západní myšlenka být slepí k realitě vztahů. No, dělá matematika správnou cestu – nebo teorie chaosu a před číslo a teorie množin – je ideální terapie . To dává dobrý cit pro realitu vztahů : symetrie , poměry a tak dále. To je pomoc u některých jiných filosofických otázek . Vezměte Leibniz Nejlepší ze všech možných světů teorie. Je to jakási ” kodrcat v koberci ” teorie – pokud podfuk tady věci zlepšit , to dělá věci horší někde jinde. Teď to může zdát šílené , protože to je snadné si představit, kterým se do jednoho bitu bez ovlivnění vzdálených částech světa tkaniny. Alecit pro kvalitativní teorie diferenciálních rovnic – z teorie chaosu , která je součástí – bude , myslím, že vás mnohem více nakloněn Leibniz. Teorie chaosu přesně ukazuje, jak propojenost může rychle vést k neočekávaným interakcím , a podivné účinky , co děláte tady nebo tam .

Které by mohly ovlivnit etiku taky?

Ano. Napříkladstandardní námitka Utilitarianism je, že si prostě nemůže předvídat důsledky akci , takže si můžete si vybrat akci, která vede k větší štěstí , protože nevíte, jaká akce to je. Ale máme způsob, jak předvídat důsledky , a je to docela dobře (i když je to samozřejmě mýlit ) . To zahrnuje spuštění mentální simulace, které jsme představit v představách . Slovo ” představivost ” bohužel uneseno literárních lidí, ale je používán znamenat doslovný mentální vizualizace zařízení . Jak moc je to dokazuje skutečnost, že používáme každý den řídit auto – předvídat stav dopravy před časem . A hlavně zůstat naživu po použití. Tato schopnost je velmi důležitá , a je nezbytné, aby každý consequentialist etické teorie . Ale představa je omezen v tom složitost situací, které je schopen zvládnout , že to není moc dobré pro celé světy.

Existují i ​​jiné matematické struktury pro použití ve filozofii ?

Co souměrnosti , které je předmětem teorie grup ? Symetrie jsou základem filozofie . Nejlepším argumentem pro globální skepse jesymetrie argumentem . Lstivý démon svět areálný svět jsou scénáře, mezi nimiž je třeba vybrat na základě vjemové zkušenosti. Skeptik bude tvrdit, že dva jsou symetrické s ohledem na informace, které máte, vaše smyslové důkazy . Není to jen , že nemůžete být jisti, který z nich má , ale to není důvod preferovat jeden k druhému .

Dalším místem, kde symetrie může pomoci, je s Nietzsche . Říká, že různí lidé mají velmi rozdílné práva ( používat idiom unNietzschean ) , aniž by ostatní říkají , co mu prokázal jakoukoli morálně relevantní rozdíl mezi nimi. Rozdíl mezi ” líčí otroky ” a ” pánů ” se nezdá být morálně relevantní jeden . To je normálně předpokládá , že lidé jsou závažnější stejné v důležitých morálních hledisek , a tam je silný důkazní břemeno vůči každému, kdo tvrdí,asymetrie , který říká, že lidé mají velmi různá práva .

Užíváte oblast matematiky a vidět to, co nám můžete říct o filozofii ?

Ne, to není , že matematika přesně vám řekne cokoliv. Je to prostě attunes vás strukturálních věci, jako je symetrie , která se ukáže být relevantní jinde. Můžete snadno zapomenout na takové věci a musí být uveden v omyl tím, povrchových odlišností , jako jsou barvy pleti .

Ještě narazíme na slavný Humeovo Is / měli problém vyplývající normativní ” oughts chůze od struktury tam,” je ” ?

Ano, problém je v tom . Ale v morálních práv případech ,symetrie mezi osobami je zřejmé pro každého, a to trvá výcvik potlačit . Jasně jsme si tím na předpokladu rovnosti práv , a to může trvat nám dlouhou cestu , ať děláme, nebo nesouhlasíte o původu těchto práv.

Ano , viděli jsme , co se děje v asymetrických společnostech. Existují nějaké další filozofické otázky, kde matematika pomáhá ?

Tam je ten problém indukce . Když se podíváte na to první , máte tendenci předpokládat, že jakékoli řešení musí zahrnovat zákony přírody nebo nějaké zásady jednotnosti přírody . Ale to nemůže být pravda , protože induktivní argumenty se vyskytují v matematice, což je pravda ve všech světech , uniforma , nebo ne. Například , to jeskutečnost, že v první miliardu číslic π se každá číslice objeví asi 1/10 času . Tak to je dobrý důvod se domnívat, že totéž bude platit ve druhém miliardu číslic π . Ale to jeinduktivní argument. A π je stejný ve všech možných světech .

Takže indukce lze použít všude.

Ano. Ať už je důvod pro přerušení je , je to má co do činění s faktech kontingentu přírody. Takže, je indukce na základě čistě logický princip , jako David Sporák argumentoval . Samozřejmě, že by zákony přírody , aby indukce ještě spolehlivější , než by jinak bylo .

Co byste doporučil k dalšímu čtení ?

Gleick kniha Chaos je dobrá. Ještě lepší je M. Mitchell Waldrop komplexnosti -novější kniha o studium self- organizace jevů, které jsou jako ty chaotické , ale více organizované . Za něco více filozofické , Bigelow a Pargetter je věda a nutnost je velmi zajímavý realistické zpracování některých aspektů vědy a matematiku.