Přímé Důkazy


Original: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.direct.html

Začněme příkladem .
Příklad : Dělitelnost je tranzitivní
Je-li a a b jsou dvě přirozená čísla , můžeme říci, žese dělí b , pokud tam je další přirozené číslo k takové, že b =k . Například , 2917 dělí 522143 , protože jepřirozené číslo k ( tj. k = 179 ) tak, že k 2917 = 522143 .

Věta . Pokud a dělí b a b předěly c pak a předěly c .

Důkaz . Podle našich předpokladů , a definice dělitelnosti , existují přirozená čísla k1 a k2 taková, že

b = a k1 a c = b k2 .

V důsledku toho ,

c = b = k2 se k1 k2 .

Nechť k = k1 k2 . Nyní k jepřirozené číslo a c = ak , tak podle definice dělitelnosti , a dělí c .
q
Pokud je P , pak Q
Většina věty ( domácí úkol nebo zkušební problémy) , které chcete dokázat, jsou buď výslovně , nebo implicity ve formě ” Jestliže P , pak Q ” . V předchozím příkladu , ” P ” byla ” Jestliže a předěly b a b předěly C” a ” Q ” se “dělí c” . Toto je standardní forma věty ( i když to může být skrytá ) . Přímý důkaz by měla být chápána jako tok důsledků začínající na ” P ” a konče ” Q ” .

P – > … – > Q

Většina důkazy jsou ( a musí být ) přímé důkazy . Vždy se snažte přímý důkaz první , pokud máte dobrý důvod, proč .
Zdá se, že příliš snadné
Pokud zjistíte, jednoduchý důkaz , a vy jste přesvědčeni o její správnosti , pak se nemusíte stydět . Mnohokrát důkazy jsou jednoduché a krátké .

V následující věty ,dokonalý čtverec má býtcelé číslo ve tvaru a2 , kdesám je celé číslo aliché číslo , je jakékoliv celé číslo ve tvaru 1 2a , kde a jecelé číslo .

Věta . Každé liché číslo , je rozdíl dvou dokonalých čtverců .

Důkaz . Předpokládejme, že 2a +1 jeliché číslo , pak
2a +1 = (1 ) 2 – a2 .
q
Kde jedůkaz ? Je to tam . Je to jen velmi krátká .
Další Jednoduchý příklad

Připomeňme, žepřirozené číslo , se nazývá kompozitní , pokud se jedná o výrobek z jiných přirozených čísel všechny větší než 1 . Napříkladčíslo 39481461 je složený , protože jeprodukt 15489 a 2549 .

Věta . Číslo 100 … 01 ( s 3-N- 1 nul , kde n jecelé číslo větší než 0 ), je složený .

Důkaz . Můžeme přepsat naše číslo jako 100 … 01 = 103n + 1 , kde n jecelé číslo větší než 0 . Nyní pomocí identity A3 + b3 = (a + b ) ( a2 – ab + b2 ) s = 10N a b = 1 , aby se

( 10n ) 3 + 1 = ( 10n + 1 ) ( 102N – 10n + 1 ) .

Budeme se provádí jednou jsme ukázali, že oba faktory ( 10n + 1 ) a ( 102 n – 10n + 1) jsou větší než 1 . V prvním případě , to je jasné, protože 10n > 0 , když n > 0 . V druhém případě , 102N – 10 n = 10 n ( 10N – 1 ) > 0 , je-li n > 0 . Tím je důkaz .
q

Ujistěte se, že chápete, proč bylo nutno projednat obě věci na konci .
One – to- One funkce
Funkce f : X – > Y se nazývá one-to -one , jestliže pro každou dvojici a, b ​​v X tak, že f ( a) = f ( b ), pak a = b . Dále , je-li f : X – > Y a g : Y – > Z jsou dvě funkce , pak složení gf : X – > Z je funkce definovaná gf ( a) = g ( f ( a) ) pro každé a v X . Všimněte si, že prostředek gf je definován pouze v případě, že doména f je obsažen v rozsahu g .

Věta . Pokud může být složen dva jeden – na – jedna funkce, pak jejich složení je one-to -one .

Důkaz . Nechť a a b se v X a předpokládají gf ( a) = GF ( b ) . Tak , g ( f ( a) ) = g ( f ( b ) ) , a od té doby je g -to -one můžeme dojít k závěru, že f ( a) = f ( b ) . Konečně , protože f je one-to -one , a = b .
q
Kořeny polynomů
Číslo r se nazývá kořen polynomu P ( x ) je-li p ( r ) = 0 .

Věta . Je-li R1 a R2 jsou různé kořeny polynomu P ( x ) = x2 + bx + c , pak r1 + r2 = – b a r1 r2 = c .

Důkaz . Z našich předpokladů , že p ( x ) bude koeficient

p ( x ) = ( x – r1 ) ( x – r2 )

Pokud jsme se rozšířit po pravé straně dostaneme

p ( x ) = x2 – ( r1 + r2 ) + x r1 r2 .

Porovnejte koeficienty výše s těmi, p ( x ) = x2 + bx + c , aby r1 + r2 = – b a r1 r2 = c .
q
cvičení
Dokažte, každý z následujících .

Pokud a dělí b a a dělí c pakdělí b + c . ( Zde a, b ​​, a c jsou kladná přirozená čísla adefinice dělitelnosti je uvedeno výše . )

Jestližejecelé číslo , dělitelný 4 , pakjerozdíl dvou dokonalých čtverců .

Je-lia a b jsou reálná čísla , pak a2 + b2 > = 2b .

Součet dvou racionálních čísel jeracionální číslo .

Pokud dva na funkce může být složena pak jejich složení je na . (Funkce f : X – > Y se nazývá na , jestliže pro každé b v Y jeprvekv X takové, že f ( a) = b ).

Pokud r1 , r2 , r3 jsou tři odlišné ( žádné dvě stejné ) kořeny polynomu p ( x ) = x3 + b x2 + c x + d , pak r1 r2 + r3 r1 + r2 r3 = c .